LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS



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La ley de los grandes números pertenece a la parte de las matemáticas que mide la frecuencia con la que se obtienen todas las formas posibles que se pueden dar en un suceso, es decir, la probabilidad.


Su creador, Bernoulli (en la imagen), publicó esta ley en su libro Ars Conjectandi en el año 1713. Éste fue el primer intento para deducir medidas estadísticas a partir de probabilidades individuales. Sin embargo, Bernoulli aún necesitaría veinte años para perfeccionar la ley de los grandes números por completo.




Cuando una experiencia aleatoria se realiza con un instrumento irregular, para determinar la probabilidad de cada suceso hay que experimentar. Por eso mismo, esta ley es tan importante en las experiencias irregulares.

La ley de los grandes números nos dice que la frecuencia relativa de las obtenciones de un experimento de carácter aleatorio se estabilizan en un número que coincide con la probabilidad, cuando el experimento se realiza muchas veces.

Teniendo en cuenta que la frecuencia relativa es la proporción de veces que ocurre un determinado suceso o, lo que es lo mismo, la cantidad de veces que sale un único suceso entre el número de veces que se ha realizado el experimento, podemos afirmar que la razón por la cual se estabiliza la frecuencia relativa es porque al ser el denominador cada vez más grande, al cociente le afectan cada vez menos las oscilaciones del numerador.

Dentro de la ley de los grendes números podemos encontrar la Ley Débil y la Ley Fuerte.

  • La Ley Débil: esta ley asegura que en muchas situaciones, la media aritmética de n variables aleatorias se aproxima a un límite de la probabilidad de E[X].

Esta ley se cumple si en una sucesión de variables aleatorias (Xn), {Xn - E[Xn]} se aproxima al límite de probabilidad 0.

  • La Ley Fuerte: esta ley afianza la ley débil, puesto que se va a establecer la convergencia con probabilidad 1 en vez, solamente, convergencia en probabilidad.

De todo esto, podemos concluir la ley de los grandes números en la siguiente ''fórmula'':

lím fr(S) = P[S] Cuando N tiende a infinito.

Un buen ejemplo para poder ver esto es esta página, en la que podemos ver como a mayor número de tiradas, la frecuencia relativa va estabilizándose.


grafica.jpg


Esta imagen representa una gráfica en la cual podemos observar como a mayor número de tiradas, la media va aproximándose en este caso a 0,5 (existe un error en la imagen, la media es de 0,5). Esto no quiere decir que la media del resultado de todos los experimentos sea exactamente este número, sino que se va a ir aproximando a él.

Podemos observar este fenómeno en tres experimentos distintos, es decir, tres monedas diferentes en este caso. La media representa la probabilidad a la que van a tender los tres experimentos según el número de tiradas. Claramente se encuentra en la mitad, lo que quiere decir que con un número cada vez más alto de tiradas, la moneda tendrá las mismas posibilidades de que sea cara o de que sea cruz.



NIÑAS
NIÑOS
1º PARTO
1
-
2º PARTO
1
1
3º PARTO
2
2
10º PARTO
4
6
100º PARTO
57
43
1000º PARTO
545
455

bebé.jpgEn la siguiente tabla tenemos un ejemplo bastante claro en el que hemos tomado como referencia el sexo del bebé de las pacientes que acuden a un hospital. El recuento se hace desde una fecha determinada tomando sólo los partos de un único feto. Teniendo en cuenta la probabilidad de que salga niña, hemos contado que de los 1000 partos observados, 545 bebés fueron niña. La frecuencia relativa sería la siguiente: 545/1000 -> 0,545

Observando los 100 primeros partos, la fr(NIÑAS): 57/100 -> 0,57

Por último, los 10 primeros partos tuvieron como resultado 4 niñas, cuya fr(NIÑAS): 4/10 -> 0,4

La media se nos queda de nuevo en el 0,5; esto es totalmente comprensible, pues un bebé tiene siempre las mismas posibilidades de que sea niño y de que sea niña.

Como también podemos ver, contra más partos observamos, el contabilizador de bebés niña se va aproximando a la media con mayor precisión.


La ley de los grandes números como tal se utiliza bastante en la macroeconomía. Un ejemplo claro de su aplicación en estos días es también en el ámbito de las apuestas: cuanto más dinero se apuesta en la lotería, más grande será la suma a cobrar.

El siguiente video es una forma de ver esta famosa ley aplicada en lo anteriormente dicho hecha en el ordenador, como se supone que lo harían los profesionales. Nosotros mismos también podríamos hacerlo tal y como se explica en las imágenes del video.








Tras colocar todos los datos en la tabla, el autor obtiene el promedio e inserta una gráfica que muestra hacia donde se dirige la media.